테일러 급수, 멱급수, 매클로린 급수

멱급수

 

멱급수란 아래와 같이 무한개의 다항식의 합으로 이루어진 급수이며 정급수라고 불리기도 한다.

테일러 급수의 필요조건인 ‘무한번 미분가능한 함수‘를 충족하는 어던함수가 있다면, 그 함수는 테일러 급수로는 일단 전개가 가능하지만, 그 함수가 멱급수로도 무조건 표현이 가능한 것은 아니다.

 

반대로 멱급수로 표현이 가능한 함수는 테일러 급수로도 표현이 가능할 뿐 아니라 그 둘은 반드시 일치하게 된다. 아래의 내용에서는 이사실을 이용하여 테일러 급수의 계수들이 왜 그런 형태를 갖는지 확인할 것이다.

 

 

 

테일러 급수

 

테일러 급수란 무한 번 미분이 가능한 함수 의  지점에 대한 테일러 급수는 아래와 같은 형태를 갖는 무한 급수이다.

 

우선, x=a라는 것이 중요한 이유는, 테일러 급수로 함수를 전개한다는 건 특정 지점 근처에서만 정의되는 것이기 때문이다. 따라서, 테일러 다항식(테일러 급수 앞 부분의 일부항을 잘라내면, 급수가 아니라 유한한 항을 가진 다항식)을 이용하여 어떤 함수를 근사(approximation)할 경우, 이 근사값은 x=a에 가까울 수록 정확하며, 멀어질수록 부정확해지게 된다.

 

또한, f(x)가 무한 번 미분이 가능한 함수여야 하는 이유는 당연하게도, 위 식에서 n이 무한대로 가기 때문에, 특정 횟수 이상에서 미분이 불가능하다면, 계수 an을 계산할 수 없게 되므로 테일러 급수로 표현할 수 없게 되기 때문이다.

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 위 식을 다시 보시면, 왼쪽의 표현은 앞서 보여드린 멱급수와 정확히 같은 형태입니다. 즉, 어떤 함수 f(x)를 멱급수로 표현할 수 있다면, 이 경우 계수들 an은 오른쪽 식과 같이 정해지는데 이걸 테일러 급수라고 부른다.

 

매클로린 급수

 

멱급수에서도 a=0인 경우가 있었듯 테일러 급수에서도 a=0 인 경우는 아래와 같이 나타낼수 있으며, 이러한 경우를 특별히 매클로린 급수(Maclaurin series) 라고 부른다.

 

 

테일러 급수의 계수들의 형태

 

멱급수의 일반적인 형태에서 출발하여, 특정 지점(여기서는 x=0)에 대해, 무한 번 미분이 가능하다고 했던 f(x)의 1~n차 미분값을 이용하여 각각의 계수들을 구해보면 그 계수들과 그로 부터 도출한 일반항이 바로 테일러 급수의 계수항이 된다는 것을 확인할 수 있다.

 

테일러 급수로 표현하고자 하는 함수 f(x)를  아래와 같은 멱급수로 나타낼 수 있다고 가정한다.

위 식에 x=0 을 대입하면, a0의 값이 a0= f(0)이다.

다음은 위 식을 한 번 미분하여 x=0 을 다시 대입하면 a1=f'(0)이다.

위 식을 계속해서 미분해 나감으로써 다음과 같이 구할수 있다. 

이렇게 구한 각 계수들을 멱급수에 대입하면 아래의 식과 같다.

우리가 구한 멱급수의 계수들이 a=0 지점에서의 테일러 급수 (매클로린 급수) 가 만들어진 것이다.